図1

球体が質点に及ぼす重力加速度は、

質点と球体各部位の引力について球積分することで求めることができます。

鉛直方向ρについて、回転方向φについて、軸方向xについて、微小質量を求めて積分していきます。

こちらのページにわかりやすい解説が載っていました。

計算はとても面倒くさいです。

ですが、結論は球体中央にの質量を持つ点が存在するという結論に至ります(なんだつまらんという感じです)

ニュートンの万有引力の式で球体からの距離ごとに感じる重力加速度が求まります。

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図2

今回は、図1の下の絵のように球体を半分に割って、後ろの半球は捨ててしまい、手前側の半球が及ぼす重力加速度について計算してみました。

積分区間を半分にすることで計算できます

重力加速度は半分になる」という即答は半分だけ正解です。

半球体の表面では、球体だった時の80%もの重力加速度を感じます。そして半球体の表面から遠ざかるにつれて、重力加速度は低下してきますが、半径分だけ離れたL=20の地点においても、球体だった時の67%の加速度を感じます。この割合は徐々に小さくなり、距離100で53%、距離1000で50.4%となります。
十分遠方から見れば質量が半分になっているので、重力加速度も半分という理屈でよいのですが、近傍ではそうではありません。距離Rの2乗に逆比例していることがとても効いているのです。

地球も均一質量の球体と仮定すれば、地球の反対側半分の質量は、私を引き付ける重力のうち20%しか寄与していないということになります。地球の反対側が消えてなくなっても、重力が半分になるわけではなく、今までの80%程に低下するだけです。

地球に関して言えば、密度均一の球体ではなさそうです。中心部には鉄のコアがあって重たいというのが定説になっていますが定かではありません。地表面を形成している岩石が地底深くまで詰まっているだけでは軽すぎる。もっと重たいものがなければならないというような経緯もあったのだろうと思いますが。

すぐ足元にそれなりに密度の高い物質が埋まっていれば、地球の反対側はなくても(中身はからっぽでも)均一密度球体と同じだけの重力を感じえます。

重力を計算するのに、質点にしてしまうというのは学問的にはとても正しいのですが、何か釈然としません。

まだまだ突っ込んでいきたいと思います。